Rayos X, cuantización de la Energía y la constante de Planck

Hay productos que utilizan los rayos X para hacernos la vida un poco mejor y más divertida como las gafas de rayos X para ver debajo de la ropa de otras personas y también muchos superhéroes los utilizan para acabar con los supervillanos, como los médicos y radiólogos que los utilizan para atacar o diagnosticar enfermedades, pero, ¿qué son los rayos X? En esta entrada quiero aclarar que son en realidad los misteriosos rayos X y como gracias a ellos se demuestra que la energía está cuantizada y como, utilizándolos se calcula, de manera precisa el valor de la constante de Planck. Para esto último voy a utilizar unas pocas fórmulas matemáticas, pero tranquilos que son pocas y fáciles. Antes de nada un poco de historia. En 1895, Wilhelm Konrad Röntgen trabajaba en Würzburg, Alemania, en un campo de investigación relativamente nuevo, los rayos catódicos. Usando un tubo de rayos catódicos, en concreto un tubo de Hittorf-Crook, que estaba envuelto en papel negro observó que sobre un papel indicador de platinocianuro de bario, que estaba al lado, apareció una línea transversal sobre el papel cuando hacía pasar una corriente a través del tubo. Esta línea sobre el papel indicador le resultó extraña. Por un lado, según el estado de la investigación de aquella época, el efecto sólo se podía deber a la radiación de la luz, pero por otro lado, era imposible que la luz proviniera del tubo ya que el papel negro que envolvía el tubo no dejaba pasar ninguna luz. Röntgen bautizó a aquella radiación como rayos X ya que no sabía a que se debían. Casi dos meses más tarde ya había preparado una comunicación anunciando estos resultados e incluso adjuntó una serie de fotografías que se han hecho famosas, como la de la mano de su esposa Anna Bertha Röntgen. Mano mujer Roentgen

Radiografía de la mano de Anna Bertha Röntgen

Röntgen no pudo dar una explicación a los rayos X, pero ahora sabemos lo que son. El tubo de rayos catódicos tiene dos electrodos en sus extremos. Uno de ellos, el cátodo, se calienta hasta que emita electrones y a través de una diferencia de potencial eléctrico de varias decenas de miles de voltios, los electrones son acelerados hasta el electrodo que se encuentra en el otro extremo del tubo, el ánodo. Cuando los electrones golpean el ánodo se observa un espectro continuo de radiación electromagnética que tiene unas longitudes de onda del orden de 1×10-10 m. Lo que en realidad ocurre en el ánodo es que el electrón pasa cerca del núcleo de un átomo del material del ánodo, con lo cual es desviado por el campo eléctrico del núcleo desacelerándose y por lo tanto emitiendo radiación (un fotón), ya que cuando una partícula cargada se acelera o desacelera, es decir cambia su velocidad con respecto al tiempo, emite radiación. No todos los electrones se desaceleran de la misma manera, es decir, no todos tienen la misma desaceleración ya que no todos pasan a la misma distancia del núcleo y al no sentir la misma intensidad del campo eléctrico, no adquieren la misma desaceleración. Debido a esto aparece el espectro continuo de radiación. Un valor diferente por cada electrón, y como hay muchos, el espectro aparece como continuo. continuo copia

Espectro continuo de rayos X

Sin embargo, ocurre un fenómeno curioso. Para cada valor de la diferencia de potencial que se aplique entre los electrodos del tubo de rayos catódicos, aparece una longitud de onda mínima, o longitud de onda de corte, en el espectro continuo de radiación, es decir, una longitud de onda por debajo de la cual no se emite radiación. Este hecho, no se pudo explicar teniendo en cuenta lo que se conocía de física clásica. Llegamos ahora a la segunda parte del título de esta entrada: la cuantización de la energía. A finales del siglo XIX, se conocía experimentalmente que la densidad de energía a una temperatura en un intervalo de frecuencias variaba de tal manera que a frecuencias bajas los cuerpos emitían una cantidad de energía que aumentaba según aumentaba la frecuencia hasta que se alcanzaba una cantidad máxima para luego volver a decrecer según seguía aumentando la frecuencia. Rayleigh y Jeans intentaron explicar esta distribución de densidad de energía pero utilizando la física de aquella época, sólo podían explicar que la energía emitida aumentaba continuamente y esto estaba en contra de las observaciones. A este hecho se le llamó catástrofe ultravioleta. Max Planck propuso que la energía estaba cuantizada, es decir eran paquetes muy pequeños de energía a los que se llamó cuantos donde cada paquete tenía una energía que era proporcional a la frecuencia. Matemáticamente esto se escribe como E= hυ, siendo h la constante de Planck. Utilizando esta aproximación, se solucionaba el problema de Rayleigh y Jeans y la distribución de la densidad de energía encajaba con lo observado experimentalmente. 220px-Wiens

Energía emitida en función de la longitud de onda a diferentes temperaturas

Volviendo a los rayos X, la energía cinética (energía de movimiento) de los electrones vendrá dada por la carga de los mismos, que llamaremos e, y por la diferencia de potencial que los acelera, que llamaremos V por lo que tendremos:

E=eV

En el caso en el que el electrón es totalmente frenado después de interaccionar con el núcleo y teniendo en cuenta que la energía ni se crea ni se destruye, es decir, la energía que llevaba el electrón antes de interaccionar con el núcleo (E=eV) es igual a la que se lleva el fotón al frenarse (desacelerarse) el electrón (E=hυ), tendremos:

eV=hυ

Despejando υ y sabiendo que la velocidad de la luz c es igual a la frecuencia multiplicado por la longitud de onda (c=υλ) obtenemos: λ=hc/eV Es decir, obtenemos una longitud de onda de corte para cada diferencia de potencial. Aquí vemos que algo que no podía explicar la física clásica, se puede explicar utilizando la cuantización de la energía, o lo que es lo mismo, la física cuántica.

En la última fórmula vemos que aparece la constante de Planck.

Ahora vamos a por la última parte del título de la entrada: la constante de Planck. La velocidad de la luz y la carga del electrón tiene unos valores que son muy conocidos y constantes (c=300000 km/s y e=1,602×10-19C). Cuando usamos un tubo de rayos catódicos para generar rayos X, utilizamos una diferencia de potencial que es fija. Si para esa diferencia de potencial dibujamos el espectro continuo de los rayos X que se generan, podemos observar cuál es la longitud de onda de corte, por lo que una vez conocido este valor, podemos meter todos los valores en la ecuación y determinar el valor de la constante de Planck:

h=6,626×10-34Js

El valor de h calculado con este método es muy preciso debido a la precisión con que se pueden conocer el resto de los parámetros de la ecuación.

¿A que las matemáticas de esta entrada no han sido tan dolorosas?

Referencias:

Marie Curie y su tiempo. José Manuel Sanchez Ron

Anna Bertha Roentgen (1832-1919): La mujer detrás del hombre. Daniela García P., Cristián García P. Revista Chilena de Radiología Vol II Nº4, año 2005; 1979-1981

Física Cuántica. Carlos Sanchez del Río (Coordinador) http://es.wikipedia.org/wiki/Catástrofe_ultravioleta

X-rays, energy quantization and the Planck’s constant

There are products that use X-rays to make our life better and funnier, such as X-rays glasses to see underneath other people clothes and also many superheroes use them to defeat super villains as doctors and radiologists use to diagnose diseases but what are X-rays? In this post, I want to clarify what they actually are and how, thanks to them, it is possible to demonstrate that the energy is quantized and how the Planck’s constant is precisely calculated. For the latter I will use a few formulas but don’t be afraid, they are easy and not so many.

First of all, let’s do a bit of history.

In 1895, Wilhelm Konrad Röntgen worked in Würzburg, Germany, in a new research field, the cathode rays. Using a cathode rays tube, concretely a Hittorf-Crook tube, covered by a black paper, he observed that a on an indicator paper made of Barium platinocyanide, located beneath the tube, appeared a transversal line when there was a current circulating by the tube. He found this line on the indicator paper strange. On the one hand, according to the research status of the time, the effect could only be due to the radiation of light, but on the other hand, it was impossible that the light was from the tube because of the black paper cover, which didn’t allow the light to go through. Röntgen gave this radiation the name of X-rays because he didn’t know its origin. Almost two months later he had already prepared a communication announcing these results and he even attached a series of pictures that have become famous such as the one of the hand of his wife Anna Bertha Röntgen.

Mano mujer Roentgen

Radiography of the hand of Anna Bertha Röntgen

Röntgen couldn’t give an explanation to the X-rays, but now we know what they are. The cathode rays tube has two electrodes in its opposite sides. One of them, the cathode is heated until it emits electrons and through an electrical potential of some set of tens of thousands volts, the electrons are accelerated towards the electrode on the other side of the tube, the anode. When the electrons hit the anode, it is observed a continuum spectrum of electromagnetic radiation that has wavelengths of 1×10-10 m. What it actually happens in the anode is that the electron passes close to the nucleus of the atoms of the anode material and they are diverted by the electrical field of the nucleus and they are slowed down and thus they emit radiation (a photon), because when a charged particle it is accelerated or slowed down its speed, in other words its speed changes with time, it emits radiation.

Not all the electrons slow down in the same way, that is, not all of them have the same deceleration because not all of them pass at the same distance of the nucleus. Since they don’t fell the same intensity of the electric field, they don’t get the same deceleration. Because of this, it appears the continuum spectrum. A different value for each electron, and as there are many, the spectrum looks like a continuum.

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X-rays continuum spectrum

However an odd phenomenon occurs. For each value of the applied electric potential, it appears a minimum wavelength in the continuum spectrum below which, it is not emitted any radiation. This phenomenon couldn’t be explained with classical physics.

We come now to the second part of the title of this post: energy quantization.

By the end of the XIX century, it was experimentally known that the energy density at a given energy in a frequency interval varied in a way that a low frequencies the bodies emitted such an amount of energy that increased as the frequency increased until it reached a maximum energy and then the energy emitted decreased as the frequency increased. Rayleigh and Jeans tried to explain this energy density distribution but using the physics existing by that time. However they could only explain that the energy increased continuously and that was against the observations. This phenomenon was named ultraviolet catastrophe.

Max Planck proposed that the energy was cuantized, that is there were very small energy packets, named quanta, where each packet had an energy proportional to the frequency. Mathematically this is written as E= hυ, where h is the Planck’s constant. Using this approach, the Rayleigh and Jeans problem was solved and the energy density distribution matched with what was experimentally observed.

220px-Wiens

Emitted energy as a function of wavelength at different temperatures

Back to the X-rays, the kinetic energy of the electrons is given by their charge e and by the electric potential that accelerates them V, thus:

E=eV

In the case that the electron is totally stopped after interacting with the nucleus and bearing in mind that the energy does neither create nor destroy, that is, the energy before interacting with the nucleus (E=eV) equals the energy of the photon when the electron slows down (E=hυ), we have:

eV=hυ

Resolving for υ and knowing that the speed of light c equals the frequency times the wavelength (c=υλ) we obtain:

λ=hc/eV

We thus obtain a wavelength for each electric potential. Here we can see that something that was not possible to be explained using classical physics, it can be explained using energy quantization, that is, quantum physics.

In the latest formula we see the Planck’s constant.

Now let’s go for the last part of the title of the post: the Planck’s constant.

The speed of light and the charge of the electron have constant and very well known values (c=300000 km/s y e=1,602×10-19C). When we use a cathode rays tube to generate X-rays, we use a fixed electric potential. If for such electric potential we draw the continuum spectrum of the generated X-rays, we can observe what is the minimum wavelength that enables the generation of X-rays. Therefore, once known the minimum wavelength we can enter all the values in the equation, resolve it for h and establish the value of the Planck’s constant:

h=6,626×10-34Js

The value of h calculated in this way is very precise due to the precision that we know the rest of the parameters of the equation.

Have the mathematics of this post been painful?

References:

Marie Curie y su tiempo. José Manuel Sanchez Ron

Anna Bertha Roentgen (1832-1919): La mujer detrás del hombre. Daniela García P., Cristián García P. Revista Chilena de Radiología Vol II Nº4, año 2005; 1979-1981

Física Cuántica. Carlos Sanchez del Río (Coordinador)

http://en.wikipedia.org/wiki/Ultraviolet_catastrophe