¿Miedo a las matemáticas? ¿Por qué?

Si no recuerdo mal, 2 x 3 = 5 + 1, ¿no es así? Os preguntaréis que representa. Pues bien, no dejan de ser una igualdad, ecuación o churro matemático donde la palabra clave es “matemático”. Ahora bien, ¿que diferencia hay con las siguientes ecuaciones matemáticas?

Maxwell Equations

Ecuaciones de Maxwell: no pasa un día sin que las escriba en algún sitio sólo por placer. (Nota: a efectos prácticos el punto significa lo mismo que la x, es decir multiplicación, sólo que en el primer caso la multiplicación es escalar y en el segundo vectorial, pero ahora mismo eso nos da igual)

Dan un poco de miedo, ¿no?

Vamos a hacer lo siguiente, si en la ecuación 2 x 3 = 5 + 1, sustituimos el 2 por la letra A, el 3 por la letra B, el 5 por C, el 1 por D, podemos escribirlo como

A x B = C + D

Ahora volvemos a las ecuaciones de Maxwell y nos fijamos en la última. ¿Hay alguna diferencia? Aparte de las flechas encima de las letras, del triangulo invertido y de la división de algo que parece un 6 reflejado en un espejo, si nos fijamos bien, se parece a nuestro algo multiplicado por otro algo que es igual a otro algo más sumado a otro algo, y como esa multiplicación y suma de algos hemos dicho que era 2 x 3 = 5 + 1, llegamos a la conclusión (al menos yo) de que las ecuaciones de Maxwell tampoco dan tanto miedo como podíamos pensar al principio, no es más que sumas y multiplicaciones que todos sabemos desde pequeños.

En realidad, las ecuaciones de Maxwell, aparte de ser preciosas, si que dan un poco de miedo, sobre todo cuando tienes que resolverlas en un examen en el que tienes un tiempo limitado y has estudiado más bien poco, pero no es por ahí por donde quiero ir.

Entre las personas hay una especie de terror generalizado hacia las matemáticas, y demasiadas veces se suele escuchar eso de que si son difíciles (que lo son), que no sirven para nada (¡mentira!) y que para que necesito yo aprender matemáticas si lo único que necesito es saber sumar y multiplicar los precios en los supermercados (si sabes sumar y restar, ya sabes leer las ecuaciones de Maxwell, y sí, sirven para mucho)

Aunque en algunos casos las matemáticas sean difíciles, lo que no es cierto es afirmar que no sirvan para nada. Las ecuaciones de Maxwell (recordad, 4 ecuaciones que son sumas y multiplicaciones) ¡son en realidad una explicación de todo lo que vemos! Explican por que la luz es como es, explican toda la electricidad que usamos a diario desde que nos levantamos hasta que nos acostamos, explican porque cuando estamos sentados, a pesar de que la fuerza de la gravedad tire de nosotros hacia el suelo, no atravesamos la silla y nos caemos, explican porqué los imanes se atraen y los motores de nuestros frigoríficos y lavadoras funcionan, explican… en fin, no voy a seguir porque entonces no termino esta entrada.

Aunque haya puesto como ejemplo las ecuaciones de Maxwell (sólo porque son mis ecuaciones preferidas), la utilidad no se limita sólo a ellas. Podría haber empezado con algo más sencillo como la famosa ecuación de Einstein E = mc2, haciendo la similitud con la ecuación 1.53×1016 = 0,51 x (3×108)2 y decir que 1.53×1016 es E, 0,51 es m y 3×108 es c, que no es otra cosa que la energía del electrón en reposo en unidades de MeV (mega electronvoltios), la masa del electrón en MeV y la velocidad de la luz en metros por segundo, pero es que ya he escrito sobre ella aquí y no quería repetirme.

Aún así las matemáticas son fundamentales en cualquier momento de nuestras vidas, por ejemplo las siguientes ecuaciones:

vientogeostrofico2

vientogeostrófico1

Ecuaciones de la aproximación de viento geostrófico

representan la aproximación de viento geostrófico, que explican el sentido de giro antihorario de los anticiclones y sentido de giro horario de las borrascas (en el hemisferio norte, en el sur los sentidos son opuestos. Y que conste que he usado los términos anticiclones y borrascas porque es lo que dicen la televisión, lo correcto sería decir sistemas de altas y bajas presiones) y también como son capaces los meteorólogos de determinar la dirección del viento a partir de los mapas de isobaras (es fácil, como regla nemotécnica se dice que el viento siempre se mueve en el sentido en el que deja las bajas presiones a la izquierda).

Pero no termina todo aquí hay muchos más ejemplos fuera del mundo de la física o las ciencias naturales, por ejemplo, en economía, la ecuación

economia

Ecuación del cambio de valor del dinero

representa el cambio de valor del dinero cuando se conoce los índices de precios al principio y al final del periodo que se esté considerando.

Incluso en medicina, las ecuaciones

Modelo SIR 1Modelo SIR 2

Modelo SIR 3

Modelo SIR de desarrollo de una enfermedad en el tiempo

representan el modelo SIR que indica como una enfermedad se desarrolla a lo largo del tiempo.

Y hay muchísimos ejemplos más en los cuales no nos fijamos y que dan resultados que utilizamos a diario.

Las matemáticas son inmensamente útiles, es más, sin matemáticas, todavía viviríamos prácticamente en cuevas (los egipcios ya utilizaban las matemáticas para construir pirámides e incluso para la agricultura y desde entonces ha pasado mucho tiempo). Y si, son difíciles. Y si no, fijaos en el lagrangiano (bonita palabra) del Modelo Estándar de Física de Partículas, que explica todas las fuerzas que sentimos excepto la gravedad (fuerza electromagnética, es decir incluye mis queridas ecuaciones de Maxwell, fuerza débil, que explica las desintegraciones nucleares y la radiactividad y la fuerza fuerte, que explica por qué los nucleos atómicos son como son) y básicamente como es el mundo que nos rodea. A ver cuantas sumas y multiplicaciones como las del principio sois capaces de ver…

Lagrangiana del Modelo Estandar de Física de Partículas

Lagrangiana del Modelo Estandar de Física de Partículas

Referencias:

How to write Maxwell’s Equations on a T-Shirt

http://es.wikipedia.org/wiki/Viento_geostrófico

Luis E. Rivero. La medición del valor del dinero

http://es.wikipedia.org/wiki/Modelaje_matemático_de_epidemias

The Standard Higgs. Richard Ruiz. Quantum Diaries. http://www.quantumdiaries.org/author/richard-ruiz/

Afraid of Maths? Why?

If I remember well, 5 + 1 = 2 x 3, is it right? You may wonder what it represents. Well, it is an equality or mathematical equation, where the key word is ‘mathematical’. Now, what is the difference with the following equations?

Maxwell Equations

Maxwell’s equations: there is not a single day when I don’t write them somewhere just for fun (Note. For practical reasons, the point means the same as the x, that is a product, in the first case it is a scalar product and in the second a vector product, but for us, now it doesn’t matter.

They are a bit scary, aren’t they?

Let’s do the following, if in the equation 5 + 1 = 2 x 3, we replace 5 by the an A, 1 by a B, 2 by a C and 3 by a D, we can write as

A x B = C + D

Let’s go back to the Maxwell’s equations and pay attention to the last one. Is there any difference? Apart from the arrows over the symbols, the inverted triangle and the quotient involving something similar to a 6 reflected on a mirror, if we look at it carefully, It is similar to our something multiplied by another something which equals to another something times something and as we said that the product and addition of something was 5 + 1 = 2 x 3, we come to the conclusion (at least me) that the Maxwell’s equations are not so scary as we may think at the beginning, they are just additions and products that we know since we were children.

Actually, Maxwell’s equations, apart from being beautiful, are a bit scary, specially when one has to solve them in an exam with limited time taking into account that you has not studied too much.

There is a generalised terror between different people towards Maths, and it can be heard very often that they are difficult (in fact, they are), that they are useless (a lie!) and why should I learn Maths when the only thing I need is to know how to add and multiply the prices in supermarkets (if you know add and substract, you can already read Maxwell’s equations, and yes they are really useful)

Although in many cases Maths are difficult, it is not truth to affirm that they are useless. Maxwell’s equations (remember, 4 equations that are additions and products), are in fact an explanation of everything we see! They explain why the light is as it is, they explain all the electricity we use every day from the moment we wake up until we go to sleep, they explain why when we are sit, despite of the gravity force that pull us towards the floor, we don’t pass through the chair and fall down, they explain why magnets are attracted and why the engines of our fridges and our washing machines work, they explain… well, I will not keep on giving examples, otherwise I will not finish this post.

Even If I put Maxwell’s equations as an example (only because they are my favourite equations), the usefulness is not only limited to them. I could have started with something easier such as the famous Einstein’s equation E =mc2 and make a comparison with the equation 1.53×1016 = 0,51 x (3×108)2 and say that 1.53×1016 is E, 0,51 is m and 3×108 is c, where they represent the rest energy of the electron in MeV (Megaelectronvolts), the rest mass of the electron in MeV and the speed of light in meters per second respectively, but I have already written about this equation here and don’t want to repeat myself.

In any case, Maths are fundamental in any moment of our lives. For instance the following equations

vientogeostrófico1

vientogeostrofico2

 

Equations of the geostrophic wind approximation

 

 

represent the geostrophic wind approximation, that explain the anticlockwise turn of high pressure systems in the atmosphere and the clockwise turn of low pressure systems (in the northern hemisphere) as well as how meteorologists are able of establish the wind direction by looking at the isobar maps (it is easy, the rule is that the wind always moves in the direction where the low pressures are left to the left)

But this is not the end, there are much more examples outside the world of Physics and Natural Sciences. For example, in Economics, the equation

economia

 

Equation of the change in the value of money

represents the change in the value of money when the price index at the beginning and at the end of an specific period are known.

Even in Medicine, the equations

Modelo SIR 1

 

Modelo SIR 2

 

Modelo SIR 3

 

SIR Model for the development of a disease along time

 

 

represent the SIR model, which indicates how a disease evolves along time

And there are much more examples that we don’t pay attention to and that give practical results we use everyday.

Maths is extremely useful, without Maths we would probably still live in caves (Egyptians used Maths already to build pyramids and even for agricultural purposes and since then a long time has passed). And yes, they are difficult. If you don’t believe me, just look at the Standard Model Lagrangian (nice word!) of Particle Physics which explains all the forces or nature we feel, except for gravitation (electromagnetic force which includes Maxwell’s equations, weak force which explains nuclear decays and radioactivity and strong force which explains why atomic nucleus are as they are) and basically it explains how the world that surround us is. Let’s see how many additions and products like those at the beginning of the post you are able to see…

Lagrangiana del Modelo Estandar de Física de Partículas

Standard Model Lagrangian of Particle Physics

References:

How to write Maxwell’s Equations on a T-Shirt

http://en.wikipedia.org/wiki/Geostrophic_wind

Luis E. Rivero. La medición del valor del dinero

http://en.wikipedia.org/wiki/Epidemic_model

The Standard Higgs. Richard Ruiz. Quantum Diaries. http://www.quantumdiaries.org/author/richard-ruiz/

 

A classic: E = mc2. Is it everything? Its history

Why, when someone sees an equation, the first thing he/she thinks about is to run away? And why, when someone sees a t-shirt with a picture of an old man with white messy hair sticking out his tongue with an equation below the picture, the first thing he thinks is, cool! I want one of those too!? The old man is Albert Einstein and the equation is E = mc2 which is the most famous equation in history, probably even more famous than the Pythagorean theorem (hypotenuse)2 = (cathetus 1)2 + (cathetus 2)2 that, by the way, is related to the Einstein equation in way that I will explain later. The problem is that many of those who have, or want to have, such a t-shirt don’t know exactly what the meaning of the equation is and even less what its origin is. What we all probably know is that, in the equation E is the energy, m the mass and c the speed of light.

Another thing that very few people know is where the famous equation comes from and what Einstein wanted to explain when he worked it out, so lets do a bit of history about how Einstein came to it without using mathematical formulae (this is difficult, so if you are curious I recommend you to have a look at the original paper even if you don’t understand anything, it is so beautiful and simple that it is worthy to have a look at it)

The original paper where Einstein formulated the problem had as title ‘Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?’[1], what means, does the inertia of a body depend upon its energy-content? Einstein’s objective was to explain an aspect derived from his previous studies about electrodynamics where he used Maxwell’s equations, which explain why we see what we see and that are for me one of the most beautiful set of equations in history.

He also used the relativity principle as follows:

‘The laws by which the states of physical systems alter are independent of the alternative, to which of two systems of coordinates, in uniform motion of parallel translation relatively to each other, these alterations of states are referred’

As you can see it does not say that everything is relative what it is used by many people when they want their opinion being in a better position than a different one.

From this point Einstein asked himself what happens when a stationary body, with an energy E1 in a system of coordinates, let us call it C, and E2 in another system of coordinates C moving with a uniform parallel translation, emits energy in two directions. To understand it let us suppose that we are the body with energy E1, that we got it after a good breakfast and that we are stopped in train station’s platform. The train station is the system of coordinates C. The system of coordinates C would be a train moving in a railroad track parallel to the platform where we are. The emission of energy E1 by the body means that we emit energy of a certain type. To be original, let us suppose that we have a pair of eyes capable of throwing X-rays then, when we throw X-rays, we emit energy in two directions (one per eye). If we take into account the energy we emitted and measure it with regard to the system of coordinates that is moving (the train) and to the stationary one, as well as we consider the principle of relativity and the energy conservation law (energy cannot be created or destroyed, but can change form, or in other words, the initial energy, the one gained after the breakfast, has to be the same that the one at the end, the energy emitted in the form of X-rays together with the one from the breakfast that we didn’t use), after subtracting the energies in both systems of coordinates we find the result that obtained Einstein which explains that if it is emitted energy in the form of radiation its mass diminishes, what is the same as ‘the mass of a body is a measure of its energy-content (I must admit that this is much more easier to explain with formulae). The c2 appears because of measuring the energy of the body in the system of coordinates that is moving.

In summary, the energy and mass are equivalent through a constant which is the speed of light, because although the OPERA experiment says the opposite, wait… they don’t say it anymore because they forgot to correctly plug a wire, nothing can travel faster that the speed of light (in vacuum) which is constant with a numerical value of 300,000 km/s approximately. Or what is the same E = mc2.

Although it may seem at useless result, it is not because the mass is continuously transforming into energy and the energy into mass. The former is easier to understand. In the interior of the sun there are permanent nuclear reactions transforming where two hydrogen atoms (this is quite more complex but enough to understand it) are fusing or ‘colliding’ together to produce a Helium atom plus an amount of energy that escapes from the reaction, which reaches us to heat and tan us. It is something similar to what happen to us when we are ‘big’ and run and make exercise to burn fat, the excess of mass disappear, doesn’t it? And, where does it go? It is the energy needed to run and make exercise!

That the energy transforms into mass is more difficult to understand, but it is, for example the fundamental principle that particle accelerators are based on. When in the CERN’s Large Hadron Collider (LHC) two protons travelling at almost the speed of light collide, protons (in fact the quarks and gluons that make up protons) transform into energy for a tiny period of time. Until now, mass transformation into energy again. If this was the only thing that happens it would be useless to spend so much money in a particle accelerator, but what happens next is the important thing, energy transforms into mass again! However instead of producing protons again, the energy transforms in a particle of the immense particle zoo that has been discovered and in particles that are waiting to be discovered. This is how, for example, the famous Higgs boson was found.

This is interesting, but… is E = mc2 everything? The answer is a big NO. If you remember, in the example of the protons, I said that they are travelling at the speed of light, but in addition they have mass on their own, known as energy at rest. This mass is the one that appears in the Einstein equation. Where is then the speed that protons have? Einstein equation does not say anything about the bodies that, apart from the mass they have, are moving. In addition, it does not say anything either about the bodies that does not have mass, as it is the case of photons (light) because if there no mass, then energy would be zero, what is not possible because, for example the photons (light in the range of infrared frequency, which is made of photons too) heat us, which is the same that saying that they transmit energy to us. This problem is fixed by including the momentum of the particle in the equation. Momentum is, broadly speaking, a measure of the speed of the particle. In the case of photons, they don’t have mass but momentum, in other words they are moving. If we introduce the momentum in the Einstein equation, we have the extended form of the equation, which is as follows:

E2 = (mc2)2 + (pc)2

Where p is the momentum previously mentioned. Now we have a complete formula for the energy because if the particle does not have mass it can have energy (E = pc) and if it has not momentum (speed), it is at rest, it also has energy given by the famous Einstein equation. The fact that E is squared means that we have to take the square root to find the solution. But wait a moment, maths tells us that when we take the square root of a number, we always have two solutions, a positive and a negative one. For example  has two solutions, 2 and -2, this is because 22 = 4 and (-2)2 = 4, too! Does it mean that we can have negative energies? Well, the answer is not so easy. History attributes Paul Dirac in 1931 [2] the interpretation of negative energies as antiparticles. In this way, all (charged) particles have associated an antiparticle, the proton has its antiproton, the electron its antielectron or positron, etc.

Coming back to the extended form of the Einstein equation, if we have a close look at it, it has a similar form to the one of the Pythagorean theorem as I said before. How do we interpret this from a Physics point of view? Lets draw each element of the equation as part of a right-angled triangle to represent it as in the Pythagorean theorem [3]

Extended form of Einstein equation represented as the hypotenuse and cathetus of a right-angled triangle

Extended form of Einstein equation represented as the hypotenuse and cathetus of a right-angled triangle

This means that if a particle has mass, we could only give it energy to a certain limit; we could never give it an infinite energy. The reason can be seen in the figure. If we raise energy, then the hypotenuse E will be longer. When we raise energy we make that the particle increases its momentum (it increases its speed to keep it simple) and therefore the cathetus pc would be longer. To keep the form of a right-angled triangle the cathetus mc2 should be longer which is the same as saying that its mass should increase. Thus, if we keep on giving energy the mass increases continuously giving as result that we would need more and more energy to make the particle keep moving. This is not efficient or worthwhile. It is not even useful! The limit on the speed is imposed by the speed of light; therefore if we increase the energy until the speed of the particle reaches the speed of light, we would need more and more energy to keep it moving!

I admit that this is difficult to ‘visualize’ it with the bunch of text I wrote, thus I leave you with a video of MinutePhysics (@minutephysics) where he explains it, in a wonderful way, in a bit more than two minutes.

http://www.youtube.com/watch?v=NnMIhxWRGNw

References

[1] Einstein, A. Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?, Annalen der Physik. 18:639, 1905 (versión en inglés: Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy-Content)

[2]http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/06/24/paul-a-m-dirac-y-el-descubrimiento-del-positron/ (in Spanish)

[3] http://www.youtube.com/watch?v=NnMIhxWRGNw

Un clásico: E = mc2. ¿Es todo? Su historia.

¿Por qué cuando alguien ve una ecuación escrita, lo primero que piensa es en salir corriendo? ¿Y por qué cuando alguien ve una camiseta con la foto de un señor de pelo blanco despeinado, sacando la lengua y con una ecuación de bajo, lo primero que piensa es, ¡mola!, yo también quiero una de esas? El señor en cuestión es el mismísimo Albert Einstein y la ecuación es E = mc2, que es probablemente la ecuación más famosa de toda la historia, incluso más que el teorema de Pitágoras (hipotenusa)2 = (cateto1)2 + (cateto)2 con la cual, por cierto, guarda una relación de la que hablaré más abajo. El problema es que muchos de los que tienen la camiseta o quieren una no saben exactamente cuál es el significado de la misma y mucho menos cuál es su origen. Lo que si sabemos prácticamente todos es que en la ecuación E es la energía, m la masa y c la velocidad de la luz.

Otra cosa que muy poca gente sabe es de dónde viene la famosa ecuación y qué es lo que Einstein quería explicar cuando la dedujo, así que vamos a hacer un poco de historia sobre como Einstein llegó a esta ecuación sin utilizar fórmulas (esto es complicado, así que si tenéis curiosidad os recomiendo leer el artículo original incluso si no entendéis nada es tan bonito y simple que merece la pena).

El artículo original en el que Einstein planteó el problema llevaba como título original,”Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?”[1], lo que significa ¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido de energía? El objetivo de Einstein en su artículo era explicar un aspecto que se derivaba de estudios previos sobre electrodinámica en las que utilizaba las ecuaciones de Maxwell, que explican porque vemos lo que vemos y que son, para mí, unas  de las ecuaciones más bonitas de la historia.

También utilizaba el principio de relatividad que es como sigue:

“Las leyes de acuerdo a las cuales cambian los estados de los sistemas físicos no dependen de si estos cambios de estado se refieren a uno u otro de dos sistemas de coordenadas que se encuentran en movimiento relativo de traslación paralela y uniforme”

Como podéis ver en realidad no dice nada de que todo es relativo y a lo que muchos se agarran cuando quieren hacer valer su posición con respecto a otra diferente.

A partir de aquí Einstein se preguntó qué pasa cuando un cuerpo en reposo con una energía E1 con respecto a un sistema de coordenadas, llamémosle C, y E2 con respecto a otro sistema de coordenadas C que se mueve con velocidad uniforme y paralelo a C emite energía en dos direcciones. Para entendernos supongamos que nosotros somos el cuerpo con la energía E1 que es la que hemos conseguido después de un buen desayuno y estamos parados en un andén en una estación de tren. La estación de tren es el sistema de coordenadas C. El sistema de coordenadas C sería un tren que se mueve en una vía paralela a la que estamos nosotros. Que el cuerpo de energía E1emita energía significa que nosotros emitimos energía de algún tipo. Por ser originales pongamos que tenemos unos ojos capaces de lanzar rayos X, entonces al lanzar los rayos X emitimos energía en dos direcciones (una por cada ojo). Si tenemos en cuenta la energía que hemos emitido y la medimos en el sistema de referencia que se mueve (el tren) y en el original, así como el principio de relatividad y la ley de conservación de energía (la energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma, o lo que es lo mismo, la energía inicial, que teníamos tras el desayuno ha de ser igual a la final siendo esta la que emitimos más la que nos queda del desayuno que no hemos usado), después de restar las energías en ambos sistemas de referencia nos queda el resultado al que llegó Einstein que viene a decir que si se emite energía en forma de radiación su masa disminuye (tengo que admitir que esto es más fácil de explicar con ecuaciones) es decir “la masa de un cuerpo es una medida de su contenido en energía”. La c2 viene de medir la energía del cuerpo en el sistema de referencia que se mueve.

En resumen la energía y la masa son equivalentes a través de una constante que es la velocidad de la luz, porque aunque los del experimento OPERA digan lo contrario, espera…  que ya no lo dicen porque se les olvidó apretar un cable, nada puede ir más rápido que la velocidad de la luz (en el vacío) que es constante con un valor de 300.000 km/s aproximadamente, o lo que es lo mismo E = mc2.

Aunque parezca un resultado inútil, no lo es en absoluto la masa se convierte en energía continuamente y la energía en masa. Lo primero es más fácil de ver, en el interior del Sol se están produciendo continuamente reacciones nucleares en la que dos átomos de Hidrógeno (esto es más bastante complicado pero para que se pueda entender es suficiente) se fusionan o “chocan” para dar lugar a un átomo de Helio más una cantidad de energía que se escapa de la reacción y que llega hasta nosotros para darnos calor y broncearnos. También es algo parecido a lo que pasa cuando estamos rellenitos y nos da por correr y hacer ejercicio, ¿la masa desaparece no? ¿y a dónde se va? ¡Se va en la energía necesaria para poder correr y hacer ejercicio!

Que la energía se convierte en masa es más complicado de ver, pero es, por ejemplo, el principio fundamental en el que se basan los aceleradores de partículas. Cuando en el LHC (Large Hadron Collider o Gran Colisionador de Hadrones en Español) del CERN chocan 2 protones que viajan a casi la velocidad de la luz, los protones (en realidad los quarks y gluones que hay en su interior) se convierten en energía por un breve instante de tiempo. Hasta aquí conversión de masa en energía de nuevo. Si simplemente ocurriera eso, gastarse tanto dinero en un acelerador no tendría sentido, pero lo importante es lo que ocurre a continuación, ¡esa energía se convierte en masa otra vez! Sin embargo no son protones lo que se crea a partir de la energía, sino otro tipo de partículas del inmenso zoo de partículas que se han descubierto y de las que se espera descubrir. Así, por ejemplo, es como se ha descubierto el famoso bosón de Higgs.

Hasta aquí todo muy bonito, pero… ¿es E = mc2 todo lo que hay? La respuesta es un gran NO. Si os dais cuenta, en el ejemplo de los protones, he dicho que viajan a la velocidad de la luz, pero además los protones tienen masa por sí mismos, conocida como masa en reposo. Esa masa que tienen es la que aparece en la ecuación de Einstein. ¿Y entonces donde está la velocidad que llevan los protones? La ecuación de Einstein no dice nada sobre los cuerpos que además de tener masa, se mueven, además tampoco dice nada sobre los cuerpos sin masa, como son los fotones (la luz), ya que si la masa es nula entonces la energía sería cero, lo cual no es posible porque, por ejemplo los fotones (la luz en el rango de frecuencia de los infrarrojos, que también son fotones) nos calientan, es decir, nos transmiten energía. Esto se soluciona incluyendo el momento de la partícula en la ecuación. El momento es, a grandes rasgos, una medida de la velocidad. En el caso de los fotones, estos no tienen masa pero si momento, es decir, se están moviendo. Si introducimos el momento en la ecuación de Einstein, tenemos la forma extendida de la ecuación de Einstein que es como sigue:

E2 = (mc2)2 + (pc)2

Donde p es el momento mencionado anteriormente. Ahora sí tenemos una expresión completa para la energía ya que si la partícula no tiene masa sí que puede tener energía (E = pc) y si no tiene momento (velocidad), es decir está en reposo, también tiene una energía dada por la famosa ecuación de Einstein. El hecho de que la E esté elevada al cuadrado quiere decir que hay que tomar la raíz cuadrada para encontrar la solución. Pero… un momento, las matemáticas nos dicen que cuando tomamos la raíz cuadrada siempre tenemos dos soluciones una positiva y una negativa. Por ejemplo  tiene dos soluciones 2 y -2, esto es así porque 22 = 4 y (-2)2 = 4 ¡también! ¿Quiere decir esto que podemos tener energías negativas? La respuesta es más compleja que esto. Se le atribuye a Paul Dirac en 1931 [3] el interpretar las energías negativas como las antipartículas. De este modo todas las partículas (cargadas) tienen asociada una antipartícula, el protón tiene su antiprotón, el electrón su antielectrón o positrón, etc.

Volviendo a la forma extendida de la ecuación de Einstein, si nos fijamos en la forma que tiene es muy parecida al teorema de Pitágoras como mencioné antes. ¿Cómo interpretamos esto desde un punto de vista físico? Vamos a dibujar cada elemento como parte de un triángulo rectángulo para representarlo como en el teorema de Pitágoras [3].

Ecuación extendida de Einstein como la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo

Ecuación extendida de Einstein como la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo

Esto nos quiere decir que si una partícula tiene masa, sólo podremos darle energía hasta un cierto punto, nunca podremos darle una energía infinita. La razón se puede ver en la figura de arriba. Si aumentamos la energía entonces la hipotenusa E será mucho más larga. Al aumentar la energía lo que hacemos es que la partícula tenga más momento (más velocidad para entendernos) y por lo tanto el cateto pc también se haría mucho más largo y para mantener la forma del triángulo rectángulo, según el teorema de Pitágoras, el cateto mc2 tendría que hacerse más grande, es decir, la masa aumentaría, por lo tanto si seguimos aplicando energía la masa aumenta continuamente, con lo que cada vez sería necesaria más energía para conseguir que se moviera, lo cual ni es efectivo, ni rentable, ¡ni útil! El límite de velocidad lo pone la velocidad de la luz, por lo que si aumentamos la energía hasta que la velocidad de la partícula sea comparable a la de la luz, ¡cada vez necesitaremos más energía para que se mueva!

Esto último es bastante difícil de visualizar con la parrafada que he soltado, por eso os dejo con un video de MinutePhysics donde lo explica fantásticamente bien en poco más de dos minutos.

http://www.youtube.com/watch?v=NnMIhxWRGNw

Referencias

[1] Einstein, A. Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?, Annalen der Physik. 18:639, 1905 (versión en inglés: Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy-Content)

[2]http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/06/24/paul-a-m-dirac-y-el-descubrimiento-del-positron/

[3] http://www.youtube.com/watch?v=NnMIhxWRGNw