# Determinism, indeterminism and chaos

Physical phenomena in nature occur for some reasons, they follow specific patterns or laws, but can be predicted with a total certainty what the result will be?

Depending on the phenomenon we could predict the exact outcome or have an uncertainty. It is even possible that the only thing we get is a probable value according to a statistical criterion.

In the history of science we have gone through different stages. There was a time when all could be exactly predicted, being thus a deterministic period. However the discovery of new phenomena led to think that it was impossible to know the exact result of such phenomena, thus appearing a non-deterministic stream of scientific thinking. Later, the study of non-linear dynamical systems led to a new field of study: the study of systems with a completely erratic and unpredictable behaviour, though in principle, their formulation can be deterministic. This field is known as chaos.

The scientific determinism considers that, although the world is complex and unpredictable in many ways, it always evolves according to principles or rules that are totally determined, being chance something that only occurs apparently.

In the middle of the XIX century, determinism fell down piece by piece. There were two reasons for it.

Firstly, it was needed a completely and detailed knowledge of the initial conditions of the system under study to introduce them in the equations providing the system evolution and get a result.

Secondly, the dynamics of systems made of a large number of particles were very complex to solve.

This second reason was the one that made necessary to introduce concepts related to probability and statistics to solve the problems, giving as a result the creation of a new field of mechanics: statistical mechanics and thus a change in the scientific paradigm from a deterministic paradigm to a non-deterministic one.

The discovery of quantum mechanics had also consequences in the deterministic view of the world because from the Heisenberg’s uncertainty principle it is derived an impossibility to apply deterministic equations to the microscopic world because of the impossibility of knowing the value of two conjugate variables at the same time (e.g. position and speed)

In the mind of many people, it is associated the indeterminism with quantum mechanics and determinisms with classical physics, but, as it was demonstrated by Noble prize Max Born, determinism in classical mechanics is not real because it is not possible to establish with an infinite accuracy the initial conditions of an experiment.

On another hand, Feynman, in his famous lectures, said that the indeterminism does not exclusively belong to quantum mechanics but it is a basic property of many systems.

Almost all physical systems are dynamical systems, they are systems described by one or more variables that change with time.

There are dynamical systems that have a periodic behaviour ant other systems that do not have such behaviour. When the movement is not periodic, it depends on the initial conditions and it is unpredictable in long time intervals (although it can be predictable in short time intervals) it is said that the movement is chaotic.

In other words, chaos is a type of movement that can be described by equations, some times very easy, and that is characterised by:

• An irregular movement with time that has neither periodicities nor superposition of periodicities.
• It is unpredictable with time because it is very sensitive to the initial conditions.
• It is complex but ordered in the phase space

For example, when there are three different masses moving because of the action of gravity (let’s say three planets), the study of their evolution in time is really complex because their initial conditions, position and speed of the three masses. Poincaré showed that it was not possible to find an exact solution to the problem.

Lorenz atractor. Does it not resemble the wings of a butterfly (Source: Wikimedia Commons)

One of the most famous cases in the study of these non-linear dynamical systems took place in 1963 when Edward Lorenz developed a model with three ordinary differential equations to describe the movement of a fluid under the action of a temperature gradient (or in other words, he was studying the behaviour of the atmosphere) Using a computer he searched for numerical solutions to the system and found that it was very sensitive to the initial conditions. It was James York who recognised Lorenz’s work and introduced the term chaos.

Currently it is thought that after the discovery of quantum mechanics and Einstein’s relativity, all physics spins around these fields. However, chaos is a very wide field gaining followers not only physicists and mathematicians, but also in other fields such as biology, genetics and neuroscience. This interdisciplinary nature is amazing and shows how much some people can learn from others to make the science advance towards a greater knowledge of the world.

References

Las matemáticas y la física del Caos. Manuel de León, Miguel A. F. Sanjuán. CSIC

Caos. La creación de una ciencia. James Gleick.

E. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow. Journal of the Atmospheric Sciences. Volume 20

# Newton, Leibniz y el cálculo infinitesimal

Gottfried Wilhelm Leibniz y Sir Isaac Newton

La ciencia necesita a las matemáticas para describir de una manera formal y rigurosa sus observaciones, es decir, para describir como se comporta el universo. Cómo dijo Galileo Galilei:

“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”

Pero, ¿de donde vienen las derivadas y las integrales?¿ alguien las tuvo que inventar, no? Pues si, las derivadas tienen un origen y va a ser que su “inventor” es conocido por todos: Sir Isaac Newton. Si, el mismo Newton de la manzana, de la gravedad y el responsable de que tengamos astronautas dando vueltas encima de nuestras cabezas (o debajo, depende de donde estén).

Newton fue una de las grandes mentes de la historia y, para desarrollar sus teorías de la gravedad u óptica, utilizaba las matemáticas que existían en su época, y cuando no existían las inventaba. Así de grande era Newton.

En ocasiones, los grandes descubrimientos no los hace una sola persona, y mucho menos en nuestros tiempos donde la investigación se hace en grandes grupos compuestos por varios científicos (incluso cientos), y muchas veces los hacen varias personas a la vez e independientemente unos de otros, lo cual lleva a rencillas y discusiones por quién fue el primero.

En el caso del cálculo infinitesimal, fue esto lo que ocurrió, Newton lo inventó, pero hubo un tal Gottfried Wilhelm Leibniz que también estuvo trabajando en el mismo campo y que llegó a las mismas conclusiones al mismo tiempo que Newton, lo cual significa que se montó un lío por ver quien había descubierto el cálculo que casi llegan a las manos.

Newton empezó a sentar sus bases del cálculo infinitesimal en su obra De analysi per aequationes numero terminorum infinitas allá por 1669. Sin embargo, Newton era reacio a publicar cualquier cosa, ya que sentía una especie de miedo a los comentarios que pudieran hacer los colegas de su época sobre su obra. Esto ocurrió con todas las obras de Newton. Sin embargo, fue en 1671 cuando publicó De methodis serierum et fluxionum (que se publicó en 1736), obra en la que desarrolló más lo conceptos establecidos en De analysi e introdujo el concepto de fluente, que viene a ser algo parecido a nuestra velocidad del ejemplo anterior (es decir algo que depende del tiempo), y el concepto de fluxión de la fluente, que sería nuestra aceleración (la derivada de la velocidad con respecto al tiempo). Es aquí donde aparece el concepto de derivada que hace que consideremos a Newton como uno de los padres del cálculo.

Sin embargo las fluxiones de fluentes de Newton, no son las derivadas que usamos hoy en día, sino que utilizamos la versión más “cómoda” desarrollada por Leibniz.

Leibniz buscaba un lenguaje universal Characteristica Universalis, que según él tenía que ser simbólico y preciso, y que unido a un sistema deductivo permitiera “hacer los razonamientos tan tangibles como las matemáticas de suerte que podamos descubrir un error a simple vista, y que cuando hay disputas entre la gente podamos simplemente decir “calculemos”, a fin de ver quien tiene razón”. Leibniz también trabajó en el campo del cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y asimismo trabajó en el desarrollo de una notación más simple y útil para realizar los cálculos. De hecho, llamó a su cálculo “differentia” en latín, de ahí que lo conozcamos como cálculo diferencial.

Leibniz publicó sus artículos en revistas frecuentemente, mientras que Newton, debido a su reticencia a publicar, lo hizo en forma de libros, lo que le permitía retrasar la publicación todo lo que el quisiera.

Esta diferencia de trabajar, fue lo que llevó a Newton y Leibniz a iniciar una disputa por quién fue el primero en inventar el cálculo infinitesimal. Newton y Leibniz intercambiaron una serie de cartas, muchas veces a través de intermediarios y ayudantes. La disputa comenzó cuando Leibniz puso en conocimiento de Newton su método en 1676 y Newton le envió parte de lo que había escrito (pero no publicado) en De analysi y De methodis. En ese momento Leibniz todavía no había publicado nada y Newton, que ya tenía escrito sus libros debió de darse cuenta de que era el momento de publicar, pero no lo hizo. Al principio de estas comunicaciones, todo eran halagos mutuos, pero probablemente poco sinceros a la vista de las posteriores comunicaciones, que comenzaron cuando empezaron a llegar cartas de colaboradores y ayudantes de ambos a otros matemáticos de la época, posicionándose a favor de uno u de otro. Newton y Leibniz se disculparon mutuamente en varias ocasiones, pero estas disculpas no sirvieron para calmar la tensión existente entre ambos.

Cabría esperar que una disputa de este tipo terminara en algún momento, pero no fue así. Leibniz murió en 1716 y Newton siguió llenando páginas sobre su derecho a ser considerado el inventor del cálculo infinitesimal durante diez años más, hasta el día de su muerte.

Quién fue el inventor del cálculo infinitesimal, podrá seguir siendo una incógnita y probablemente algún día los historiadores encontrarán la prueba que le de la razón a uno u a otro, pero lo más importante no es quién inventó el cálculo infinitesimal, sino que se inventó y está ahí para el beneficio de todos nosotros.

Esta entrada participa en la XLVIII edición del Carnaval de la Física, alojado en esta ocasión en el blog La Aventura de la Ciencia que administra Daniel Martín Reina

Referencia

La verdad está en el límite. El cálculo infinitesimal. Antonio J. Durán. Colección El mundo es matemático

http://www.mundohistoria.org/blog/articulos_web/la-disputa-entre-newton-