Julio César, matemáticas y un reloj

Quién no conoce a Julio César, el famoso dictador de la Republica romana que llevó el territorio romano a la prosperidad durante parte de su gobierno, también conocido por ser el objetivo de las burlas de los habitantes de una pequeña aldea poblada por irreductibles galos que resiste ahora y siempre al invasor…

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Julio César. Obra de Nicolas Coustou (Fuente: Wikimedia Commons)

Julio César también fue un gran estratega militar y la conquista de los territorios que se anexionó la hizo gracias, en gran parte, a sus dotes de estratega. Una de las características que tiene que tener un estratega es la habilidad de enviar mensajes a sus tropas y sus aliados sin que sean interceptados por el enemigo.

Suetonio nos cuenta que:

“Si tenía que decir algo confidencial, lo escribía usando el cifrado, esto es, cambiando el orden de las letras del alfabeto, para que ni una palabra pudiera entenderse. Si alguien quiere decodificarlo, y entender su significado, debe sustituir la cuarta letra del alfabeto, es decir, la D por la A, y así con las demás.

Esto quiere decir que cuando Julio César quería mandar un mensaje, utilizaba una tabla de este estilo (adaptada al alfabeto español, para entendernos mejor)

A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A B C

En otras palabras, cuando Julio César quería mandar un mensaje trasladaba cada letra del mensaje 3 posiciones hacia delante en el alfabeto, de manera que el mensaje quedaba totalmente ininteligible a no ser que el enemigo supiera qué era lo que realmente se había hecho. A esta manera de transformar un mensaje en algo ininteligible, o cifrar por traslación, se le llama cifrado César.

Llevar a cabo un cifrado de este tipo no es más que la realización explícita de un formalismo matemático muy interesante que todo el mundo conoce y usa a diario de manera inconsciente: la aritmética modular o aritmética del reloj.

¿Por qué se le llama aritmética del reloj? Si tenéis un reloj analógico, de los de manecillas de toda la vida, se puede ver inmediatamente. La corona del reloj tiene 12 números (romanos o arábigos, da igual), cada número marca una hora, por lo que una vuelta completa de la manecilla pequeña implica que han pasado 12 horas. Sin embargo, el día tiene 24 horas así que pasada la hora 12, vendrá la hora 13, la hora 14 y así sucesivamente hasta llegar a la hora 24, pero en nuestro reloj volverá a marcar la hora 1, hora 2, hasta llegar a la hora 12 otra vez.

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Reloj analógico (para contar las horas)

¿Quiere esto decir que 13=1, 14=2 y 24=12? Si, pero, como siempre, hay un pero y es que esto es sólo cierto cuando hablamos de aritmética modular, por lo que lo correcto sería escribir, por ejemplo

13 ≡ 1 (mód. 12)

que se lee “13 es congruente con 1 en módulo 12”.

Esto quiere decir que si en lugar de usar módulo 12, usáramos módulo 7, tendríamos que 13 ≡ 6 (mód. 7)

¿Y cómo se calcula? En aritmética modular estamos interesados en conocer, de forma general expresiones del tipo:

a ≡ b (mód. m)

es decir, dado un valor a queremos saber cuanto vale b en módulo m. Lo podemos hacer de dos maneras:

  • “A mano lenta”: imaginándonos un reloj que tiene tantas horas como las que indica m y empezando a mover la manecilla hasta dar una vuelta completa (o las que hagan falta) y una vez terminadas las vueltas completas, contar cuantas “horas” nos quedan hasta contar a horas. En el caso del reloj de 12 horas (módulo 12) si nos dicen que calculemos el valor de 16 en módulo 12, daremos una vuelta completa al reloj y luego contaremos 4 horas más, ya que 12 (1 vuelta completa) + 4 (horas que faltan hasta llegar a 16) =16.
  • “A mano rápida”: dividimos el valor de a entre el valor de m y el resto de la división es el valor de b. En el ejemplo anterior 16 (dividendo) = 12 (divisor) x 1 (cociente) + 4 (resto).

¿Y cómo se relaciona la aritmética modular con el cifrado César? Para dar una respuesta, volvemos a escribir los dos alfabetos de arriba, pero con una línea adicional arriba que indica la posición de la letra en el alfabeto.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A B C

Podemos ver que la letra A se corresponde con la D. Si lo transformamos a números la A se corresponde con la letra 0 + 3 = 3, que es la D, la B se corresponde con la letra 1 + 3 = 4, que es la E, la C se corresponde con la letra 2 + 3 = 5, que es la F y así sucesivamente. Escribir cada letra de esta manera es tedioso, así que en matemáticas se usa el concepto de función, que para este caso es algo así:

C(x) = x + 3 (mód. 27)

Llamar a la función C(x) es algo arbitrario. La podíamos haber llamado f(x) o de otra manera, pero usamos la C de César por relacionarla con el cifrado César. La x entre paréntesis indica que lo que va detrás del igual toma un valor diferente para cada x. Si se sustituye x por cualquier número de la tabla se obtiene lo que hemos indicado antes. (mód. 27) indica que C(x) es igual a x + 3, si y sólo si, cuando hacemos los cálculos en módulo 27.

Supongamos que Julio Cesar quiere enviar un mensaje que diga “Hola” a Abraracurcix (el jefe de la aldea de irreductibles galos) pero no quiere que se enteren ni Asterix ni Obelix. También vamos a suponer que Julio César es un grandísimo matemático y no tiene la tabla de correspondencia de letras anterior (sólo las dos primeras filas) porque le basta con la función C(x). Lo que haría es coger letra por letra y aplicarle la función:

  • H ocupa la posición 7, por lo tanto C(7) = 7 + 3 (mód 27) = 10 (mód 27) = 10, que se corresponde con la letra K.
  • o ocupa la posición 15, por lo tanto C(15) = 15 + 3 (mód 27) = 18 (mód 27) = 18, que se corresponde con la letra R.
  • l ocupa la posición 11, por lo tanto C(11) = 11 + 3 (mód 27) = 14 (mód 27) = 14, que se corresponde con la letra Ñ.
  • a ocupa la posición 0, por lo tanto C(0) = 0 + 3 (mód 27) = 3 (mód 27) = 3, que se corresponde con la letra D.

Julio César mandaría por tanto el mensaje “Krñd” y, por muy listo que sea, Asterix, no lo descubrirá.

Éste mensaje tiene un problema, ¿Cómo sabe Abraracurcix lo que dice el mensaje? Tiene que encontrar una manera de descifrarlo porque lo único que César le ha dicho es que ha utilizado el cifrado César (la función de antes) y está escrito con un alfabeto de 27 letras. Dado que el valor de C(x) es la letra cifrada que se corresponde con la letra x en el alfabeto ordenado normalmente, Abraracurcix tiene que encontrar el valor de x. Cómo Panoramix el druida le ha enseñado algo de matemáticas, resuelve la ecuación:

C(x) = x + 3 (mód. 27)

x = C(x) – 3 (mód. 27)

además, como nosotros ya sabemos lo que quiere decir “Krñd” suponemos que el mensaje lleva además la palabra “DOLJR”. Aplicando la ecuación, tenemos:

  • D ocupa la posición 3, por lo tanto x = 3 – 3 (mód 27) = 0 (mód 27) = 0, que se corresponde con la letra a.
  • O ocupa la posición 15, por lo tanto x = 15 – 3 (mód 27) = 12 (mód 27) = 12, que se corresponde con la letra m.
  • L ocupa la posición 11, por lo tanto x = 11 – 3 (mód 27) = 8 (mód 27) = 8, que se corresponde con la letra i.
  • J ocupa la posición 9, por lo tanto x = 9 – 3 (mód 27) = 6 (mód 27) = 6, que se corresponde con la letra g.
  • R ocupa la posición 18, por lo tanto x = 18 – 3 (mód 27) = 15 (mód 27) = 15, que se corresponde con la letra o.

Por lo que Abraracurcix se emociona al saber que está iniciando una nueva amistad al leer el mensaje “Hola amigo”.

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Abraracurcix, el jefe, contento después de recibir el mensaje de Julio… (Fuente: asterix.com)

Como podemos ver las matemáticas son muy importantes a la hora de mantener la seguridad de nuestras comunicaciones, ya sean textos o algo más complejo, como nuestras cuentas bancarias cuando hacemos compras por internet. El campo de las matemáticas que estudia esta seguridad es la criptografía y además de la aritmética modular existen muchos otros entes matemáticos implicados, como son los importantísimos números primos, por poner un ejemplo.

No se puede decir que el cifrado César sea el más seguro de todos ya que se pueden utilizar técnicas de criptoanálisis como el análisis de frecuencia, que tiene en cuenta qué letras aparecen con más frecuencia en un idioma. Como siempre, todo es más difícil de lo que parece, pero gracias a eso que algunos despectivamente llaman “algo que no sirve para nada”, en referencia a las matemáticas, estamos más seguros ante cualquier ataque contra la seguridad de la información y podemos mandarnos mensajes a escondidas cuando no queremos que alguien se entere…

¡JUDFLDV SRU SDVDUWH!

Referencias:

Matemáticas, espías y piratas informáticos. Codificación y criptografía. Joan Gómez

Asterix el galo. Goscinny y Uderzo

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Determinismo, indeterminismo y caos

Los fenómenos físicos de la naturaleza ocurren por una razón, siguen unos determinados patrones o unas determinadas leyes, pero ¿se puede decir con toda certeza cuál será el resultado?

Dependiendo del fenómeno podremos predecir el resultado con exactitud o tendremos una cierta incertidumbre. Es incluso posible que lo único que obtengamos sea una valor probable según unos criterios estadísticos.

A lo largo de la historia de la ciencia se ha pasado por diferentes etapas del pensamiento. Hubo una época en la que se pensaba que todo se podía predecir con total exactitud siendo por ello un periodo determinista. Sin embargo el descubrimiento de nuevos fenómenos se llego a pensar que era imposible conocer el resultado de dichos fenómenos con exactitud, apareciendo una corriente indeterminista del pensamiento científico. Más adelante, el estudio de los sistemas dinámicos no lineales llevó a la aparición de un nuevo campo de estudio: el estudio de sistemas con un comportamiento completamente errático e impredecible aunque, en principio, su formulación sea determinista. Este campo es lo que conocemos como caos.

El determinismo científico considera que aunque el mundo es complejo e impredecible en muchos aspectos, éste siempre evoluciona según principios o reglas totalmente determinadas, siendo el azar algo que sólo ocurre de manera aparente.

Según avanzaba el siglo XIX, el determinismo se derrumbó poco a poco. Hubo dos razones para ello.

En primer lugar, se necesitaba un conocimiento completo y detallado de las condiciones iniciales del sistema estudiado para poder introducirlas en las ecuaciones de evolución y poder establecer el resultado.

En segundo lugar, los sistemas compuestos de muchas partículas tenían una dinámica cuyas ecuaciones de evolución eran muy complejas de resolver.

Este segundo motivo fue el que hizo que fuera necesario introducir conceptos relacionados con la probabilidad y estadística para solucionar los problemas, dando como resultado la creación de una nueva mecánica: la mecánica estadística y con ello el paso de un paradigma científico determinista a uno indeterminista.

La llegada de la mecánica cuántica también tuvo consecuencias en la visión determinista del mundo ya que del principio de incertidumbre de Heisenberg se desprende la imposibilidad de aplicar ecuaciones deterministas al mundo microscópico por la imposibilidad de conocer dos variables conjugadas a la vez (por ejemplo la posición y la velocidad)

En la mente de muchos, se asocia indeterminismo con mecánica cuántica y determinismo con física clásica, pero, como demostró el premio Nobel Max Born, el determinismo de la mecánica clásica no es real al no ser posible establecer con infinita precisión las condiciones iniciales de un experimento.

Por otro lado Feynman, en sus lecturas de física, dijo que el indeterminismo no pertenece de manera exclusiva a la mecánica cuántica, sino que es un propiedad básica de muchos sistemas.

Casi todos los sistemas físicos son sistemas dinámicos, es decir, son sistemas descritos por una o más variables que cambian en el tiempo.

Hay sistemas dinámicos que siguen un comportamiento periódico y otros sistemas que no siguen ningún comportamiento periódico. Cuando el movimiento es no periódico, depende de las condiciones iniciales y es impredecible en largos intervalos de tiempo (aunque sea predecible en intervalos pequeños) se dice que el movimiento es caótico.

En otras palabras, el caos es un tipo de movimiento que se puede describir por ecuaciones, a veces muy sencillas, y que se caracteriza por:

  • Movimiento irregular en el tiempo que no tiene periodicidades ni superposición de periodicidades.
  • Es impredecible en el tiempo ya que es muy sensible a las condiciones iniciales.
  • Es muy complejo pero ordenado en el espacio de fases

Por ejemplo, cuando existen tres masas diferentes que se mueven bajo la acción de la gravedad (digamos tres planetas), el estudio de su evolución en el tiempo es realmente complejo ya que depende de las condiciones iniciales, es decir posición y velocidad de las tres masas. Poincaré demostró que no era posible encontrar una solución exacta.

Otro de los casos más famosos en el estudio de estos sistemas dinámicos no lineales tuvo lugar en 1963 cuando Edward Lorenz desarrolló un modelo de tres ecuaciones diferenciales ordinarias para describir el movimiento de un fluido bajo la acción de un gradiente térmico (lo que es equivalente a decir que estaba estudiando el comportamiento de la atmósfera) Utilizando un ordenador buscó soluciones numéricas al sistema de ecuaciones y descubrió que era muy sensible a las condiciones iniciales. Fue James York quien reconoció el trabajo de Lorenz e introdujo el término caos.

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Atractor de Lorenz. ¿No parece las alas de una mariposa? (Fuente: Wikimedia Commons)

Actualmente se tiende a pensar que tras el descubrimiento de la mecánica cuántica y la relatividad de Einstein, toda la física gira en torno al estudio de estos campos. Sin embargo, el caos es un campo muy amplio que está ganando adeptos no sólo entre físicos y matemáticos, sino también en otros campos como la biología, la genética y la neurociencia por nombrar unos cuantos. Esta interdisciplinariedad es sorprendente y demuestra lo mucho que se puede aprender unos de otros para que la ciencia avance con paso firme hacia un mayor conocimiento del mundo.

Referencias

Las matemáticas y la física del Caos. Manuel de León, Miguel A. F. Sanjuán. CSIC

Caos. La creación de una ciencia. James Gleick.

E. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow. Journal of the Atmospheric Sciences. Volume 20

Newton, Leibniz y and the infinitesimal calculus

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Gottfried Wilhelm Leibniz and Sir Isaac Newton

Science needs mathematics to formally and firmly describe its observations, to describe how the universe is.

As Galileo Galilei said:

“Mathematics is the language with which God has written the universe”

Maths is so big that listing all its areas of study would be large and complex. Basically all these areas are used by all kinds of science, including social sciences. Maybe the most widely used area is the infinitesimal calculus, which is split into integral calculus, which basis are integrals, and differential calculus, which basis are derivatives. A derivative is the change in the rate of a function as a function of a variable when it is small, what it is known as an infinitesimal. For example, when we are in a car, at every moment we are accelerating what means that the speed is changing with time. This change is represented as the derivative of the speed with respect to the time. An integral is the opposite operation, to establish the speed of the car at every moment from the acceleration.

But, where do derivatives and integrals come from? Someone had to invent them, is it right? Well, yes. Derivatives have an origin and their inventor is well known: Sir Isaac Newton. Yes, the same Newton of the apple, the gravity and the responsible of the theory that allows us to have astronauts orbiting above our heads (or below, depending where they are).

Newton was one of the biggest minds in history and, to develop his theories of gravity or optics, he used the maths that existed at that time, and when they were not available, he invented them. So big was Newton.

Sometimes, the big discoveries are no made by one single person, and even less nowadays when the research is made in large groups made of various scientists (even hundreds), and very often they are made by different persons at the same time independently, what leads to arguments about who was the first.

This was the case of infinitesimal calculus, Newton invented it, but Gottfried Wilhelm Leibniz, who was also working in the same field, arrived to the same conclusions at the same time as Newton, what means that there was a mess to win the battle of who had discovered calculus first.

Newton started to set the basis for infinitesimal calculus in his work of 1669 De analysi per aequationes numero terminorum infinitas. However Newton was reluctant to publish anything, as he was, somehow, afraid of the comments of his colleagues about his work. The same happened with every Newton’s work. However, in 1671 when he published De methodis serierum et fluxionum, it was when he developed in the detail the concepts established in De analysi and introduced the concept of fluent, which is something similar to our speed in the above example (i.e. something that depends on time), and the concept of fluxion of fluent, which is similar to our acceleration (i.e. the derivative with respect to time). It is here where the concept of derivative, that makes us to consider Newton as one of the parents of calculus, appears.

However, the fluxions of fluent from Newton are not the derivatives we use nowadays, but the most ‘comfortable’ version developed by Leibniz.

Leibniz was searching for a universal language, that used to a deductive system enabled to make reasoning so tangible as mathematics are so that we can discover easily any error, and when there is any argument between people we could simply say, let’s ‘calculate’ to see who is right. Leibniz also worked in the field of infinitesimal calculus, independently from Newton, and also worked in the development of a more simple and easy to use notation to make the calculus. In fact, he called his calculus with the Latin word ‘differentia’ and that is why we know it as differential calculus.

Leibniz published his articles frequently in magazines, while Newton, due to its reluctance to publish anything, made it in the form of a book, what enabled him to delay the publication as much as he could.

This different way of working was what led Newton and Leibniz to initiate a dispute to find out who was the first that invented the infinitesimal calculus. Newton and Leibniz, exchange a number of letters, often through intermediaries and colleagues. The dispute begun when Leibniz let Newton know about his method in 1676 and Newton send him back part of what he had written (but not published) in his De analysi and De methodis.

At that moment, Leibniz had not published anything yet and Newton, who had already written his books, should have realised that it was the moment for publishing. At the beginning of these communications everything were praises, but maybe not really deep considering later communications that begun when letters from their collaborators and assistants started to arrive positioning themselves in favour of one or another. Newton and Leibniz excused themselves several time, but these excuses were not useful to calm down the      tension between them.

It may be thought that a dispute of this kind could end at some moment, but it was not like this. Leibniz died in 1816 and Newton carried on filling pages and pages about his right to be considered as the inventor of infinitesimal calculus for ten years more, until the day of his dead.

Who was the inventor of infinitesimal calculus, could remain unknown and probably one day historians will find the proof that will give the reason to one or another, but the most important thing is not who invented infinitesimal calculus, but what was invented that is out there for the benefit of all of us

References:

La verdad está en el límite. El cálculo infinitesimal. Antonio J. Durán. Colección El mundo es matemático

http://www.mundohistoria.org/blog/articulos_web/la-disputa-entre-newton-leibniz-por-la-invencion-del-calculo

¿Miedo a las matemáticas? ¿Por qué?

Si no recuerdo mal, 2 x 3 = 5 + 1, ¿no es así? Os preguntaréis que representa. Pues bien, no dejan de ser una igualdad, ecuación o churro matemático donde la palabra clave es “matemático”. Ahora bien, ¿que diferencia hay con las siguientes ecuaciones matemáticas?

Maxwell Equations

Ecuaciones de Maxwell: no pasa un día sin que las escriba en algún sitio sólo por placer. (Nota: a efectos prácticos el punto significa lo mismo que la x, es decir multiplicación, sólo que en el primer caso la multiplicación es escalar y en el segundo vectorial, pero ahora mismo eso nos da igual)

Dan un poco de miedo, ¿no?

Vamos a hacer lo siguiente, si en la ecuación 2 x 3 = 5 + 1, sustituimos el 2 por la letra A, el 3 por la letra B, el 5 por C, el 1 por D, podemos escribirlo como

A x B = C + D

Ahora volvemos a las ecuaciones de Maxwell y nos fijamos en la última. ¿Hay alguna diferencia? Aparte de las flechas encima de las letras, del triangulo invertido y de la división de algo que parece un 6 reflejado en un espejo, si nos fijamos bien, se parece a nuestro algo multiplicado por otro algo que es igual a otro algo más sumado a otro algo, y como esa multiplicación y suma de algos hemos dicho que era 2 x 3 = 5 + 1, llegamos a la conclusión (al menos yo) de que las ecuaciones de Maxwell tampoco dan tanto miedo como podíamos pensar al principio, no es más que sumas y multiplicaciones que todos sabemos desde pequeños.

En realidad, las ecuaciones de Maxwell, aparte de ser preciosas, si que dan un poco de miedo, sobre todo cuando tienes que resolverlas en un examen en el que tienes un tiempo limitado y has estudiado más bien poco, pero no es por ahí por donde quiero ir.

Entre las personas hay una especie de terror generalizado hacia las matemáticas, y demasiadas veces se suele escuchar eso de que si son difíciles (que lo son), que no sirven para nada (¡mentira!) y que para que necesito yo aprender matemáticas si lo único que necesito es saber sumar y multiplicar los precios en los supermercados (si sabes sumar y restar, ya sabes leer las ecuaciones de Maxwell, y sí, sirven para mucho)

Aunque en algunos casos las matemáticas sean difíciles, lo que no es cierto es afirmar que no sirvan para nada. Las ecuaciones de Maxwell (recordad, 4 ecuaciones que son sumas y multiplicaciones) ¡son en realidad una explicación de todo lo que vemos! Explican por que la luz es como es, explican toda la electricidad que usamos a diario desde que nos levantamos hasta que nos acostamos, explican porque cuando estamos sentados, a pesar de que la fuerza de la gravedad tire de nosotros hacia el suelo, no atravesamos la silla y nos caemos, explican porqué los imanes se atraen y los motores de nuestros frigoríficos y lavadoras funcionan, explican… en fin, no voy a seguir porque entonces no termino esta entrada.

Aunque haya puesto como ejemplo las ecuaciones de Maxwell (sólo porque son mis ecuaciones preferidas), la utilidad no se limita sólo a ellas. Podría haber empezado con algo más sencillo como la famosa ecuación de Einstein E = mc2, haciendo la similitud con la ecuación 1.53×1016 = 0,51 x (3×108)2 y decir que 1.53×1016 es E, 0,51 es m y 3×108 es c, que no es otra cosa que la energía del electrón en reposo en unidades de MeV (mega electronvoltios), la masa del electrón en MeV y la velocidad de la luz en metros por segundo, pero es que ya he escrito sobre ella aquí y no quería repetirme.

Aún así las matemáticas son fundamentales en cualquier momento de nuestras vidas, por ejemplo las siguientes ecuaciones:

vientogeostrofico2

vientogeostrófico1

Ecuaciones de la aproximación de viento geostrófico

representan la aproximación de viento geostrófico, que explican el sentido de giro antihorario de los anticiclones y sentido de giro horario de las borrascas (en el hemisferio norte, en el sur los sentidos son opuestos. Y que conste que he usado los términos anticiclones y borrascas porque es lo que dicen la televisión, lo correcto sería decir sistemas de altas y bajas presiones) y también como son capaces los meteorólogos de determinar la dirección del viento a partir de los mapas de isobaras (es fácil, como regla nemotécnica se dice que el viento siempre se mueve en el sentido en el que deja las bajas presiones a la izquierda).

Pero no termina todo aquí hay muchos más ejemplos fuera del mundo de la física o las ciencias naturales, por ejemplo, en economía, la ecuación

economia

Ecuación del cambio de valor del dinero

representa el cambio de valor del dinero cuando se conoce los índices de precios al principio y al final del periodo que se esté considerando.

Incluso en medicina, las ecuaciones

Modelo SIR 1Modelo SIR 2

Modelo SIR 3

Modelo SIR de desarrollo de una enfermedad en el tiempo

representan el modelo SIR que indica como una enfermedad se desarrolla a lo largo del tiempo.

Y hay muchísimos ejemplos más en los cuales no nos fijamos y que dan resultados que utilizamos a diario.

Las matemáticas son inmensamente útiles, es más, sin matemáticas, todavía viviríamos prácticamente en cuevas (los egipcios ya utilizaban las matemáticas para construir pirámides e incluso para la agricultura y desde entonces ha pasado mucho tiempo). Y si, son difíciles. Y si no, fijaos en el lagrangiano (bonita palabra) del Modelo Estándar de Física de Partículas, que explica todas las fuerzas que sentimos excepto la gravedad (fuerza electromagnética, es decir incluye mis queridas ecuaciones de Maxwell, fuerza débil, que explica las desintegraciones nucleares y la radiactividad y la fuerza fuerte, que explica por qué los nucleos atómicos son como son) y básicamente como es el mundo que nos rodea. A ver cuantas sumas y multiplicaciones como las del principio sois capaces de ver…

Lagrangiana del Modelo Estandar de Física de Partículas

Lagrangiana del Modelo Estandar de Física de Partículas

Referencias:

How to write Maxwell’s Equations on a T-Shirt

http://es.wikipedia.org/wiki/Viento_geostrófico

Luis E. Rivero. La medición del valor del dinero

http://es.wikipedia.org/wiki/Modelaje_matemático_de_epidemias

The Standard Higgs. Richard Ruiz. Quantum Diaries. http://www.quantumdiaries.org/author/richard-ruiz/