Rayos X, cuantización de la Energía y la constante de Planck

Hay productos que utilizan los rayos X para hacernos la vida un poco mejor y más divertida como las gafas de rayos X para ver debajo de la ropa de otras personas y también muchos superhéroes los utilizan para acabar con los supervillanos, como los médicos y radiólogos que los utilizan para atacar o diagnosticar enfermedades, pero, ¿qué son los rayos X? En esta entrada quiero aclarar que son en realidad los misteriosos rayos X y como gracias a ellos se demuestra que la energía está cuantizada y como, utilizándolos se calcula, de manera precisa el valor de la constante de Planck. Para esto último voy a utilizar unas pocas fórmulas matemáticas, pero tranquilos que son pocas y fáciles. Antes de nada un poco de historia. En 1895, Wilhelm Konrad Röntgen trabajaba en Würzburg, Alemania, en un campo de investigación relativamente nuevo, los rayos catódicos. Usando un tubo de rayos catódicos, en concreto un tubo de Hittorf-Crook, que estaba envuelto en papel negro observó que sobre un papel indicador de platinocianuro de bario, que estaba al lado, apareció una línea transversal sobre el papel cuando hacía pasar una corriente a través del tubo. Esta línea sobre el papel indicador le resultó extraña. Por un lado, según el estado de la investigación de aquella época, el efecto sólo se podía deber a la radiación de la luz, pero por otro lado, era imposible que la luz proviniera del tubo ya que el papel negro que envolvía el tubo no dejaba pasar ninguna luz. Röntgen bautizó a aquella radiación como rayos X ya que no sabía a que se debían. Casi dos meses más tarde ya había preparado una comunicación anunciando estos resultados e incluso adjuntó una serie de fotografías que se han hecho famosas, como la de la mano de su esposa Anna Bertha Röntgen.

Radiografía de la mano de Anna Bertha Röntgen

Röntgen no pudo dar una explicación a los rayos X, pero ahora sabemos lo que son. El tubo de rayos catódicos tiene dos electrodos en sus extremos. Uno de ellos, el cátodo, se calienta hasta que emita electrones y a través de una diferencia de potencial eléctrico de varias decenas de miles de voltios, los electrones son acelerados hasta el electrodo que se encuentra en el otro extremo del tubo, el ánodo. Cuando los electrones golpean el ánodo se observa un espectro continuo de radiación electromagnética que tiene unas longitudes de onda del orden de 1×10^-10 m. Lo que en realidad ocurre en el ánodo es que el electrón pasa cerca del núcleo de un átomo del material del ánodo, con lo cual es desviado por el campo eléctrico del núcleo desacelerándose y por lo tanto emitiendo radiación (un fotón), ya que cuando una partícula cargada se acelera o desacelera, es decir cambia su velocidad con respecto al tiempo, emite radiación. No todos los electrones se desaceleran de la misma manera, es decir, no todos tienen la misma desaceleración ya que no todos pasan a la misma distancia del núcleo y al no sentir la misma intensidad del campo eléctrico, no adquieren la misma desaceleración. Debido a esto aparece el espectro continuo de radiación. Un valor diferente por cada electrón, y como hay muchos, el espectro aparece como continuo.

Espectro continuo de rayos X

Sin embargo, ocurre un fenómeno curioso. Para cada valor de la diferencia de potencial que se aplique entre los electrodos del tubo de rayos catódicos, aparece una longitud de onda mínima, o longitud de onda de corte, en el espectro continuo de radiación, es decir, una longitud de onda por debajo de la cual no se emite radiación. Este hecho, no se pudo explicar teniendo en cuenta lo que se conocía de física clásica. Llegamos ahora a la segunda parte del título de esta entrada: la cuantización de la energía. A finales del siglo XIX, se conocía experimentalmente que la densidad de energía a una temperatura en un intervalo de frecuencias variaba de tal manera que a frecuencias bajas los cuerpos emitían una cantidad de energía que aumentaba según aumentaba la frecuencia hasta que se alcanzaba una cantidad máxima para luego volver a decrecer según seguía aumentando la frecuencia. Rayleigh y Jeans intentaron explicar esta distribución de densidad de energía pero utilizando la física de aquella época, sólo podían explicar que la energía emitida aumentaba continuamente y esto estaba en contra de las observaciones. A este hecho se le llamó catástrofe ultravioleta. Max Planck propuso que la energía estaba cuantizada, es decir eran paquetes muy pequeños de energía a los que se llamó cuantos donde cada paquete tenía una energía que era proporcional a la frecuencia. Matemáticamente esto se escribe como E= hυ, siendo h la constante de Planck. Utilizando esta aproximación, se solucionaba el problema de Rayleigh y Jeans y la distribución de la densidad de energía encajaba con lo observado experimentalmente.

Energía emitida en función de la longitud de onda a diferentes temperaturas

Volviendo a los rayos X, la energía cinética (energía de movimiento) de los electrones vendrá dada por la carga de los mismos, que llamaremos e, y por la diferencia de potencial que los acelera, que llamaremos V por lo que tendremos:

E=eV

En el caso en el que el electrón es totalmente frenado después de interaccionar con el núcleo y teniendo en cuenta que la energía ni se crea ni se destruye, es decir, la energía que llevaba el electrón antes de interaccionar con el núcleo (E=eV) es igual a la que se lleva el fotón al frenarse (desacelerarse) el electrón (E=hυ), tendremos:

eV=hυ

Despejando υ y sabiendo que la velocidad de la luz c es igual a la frecuencia multiplicado por la longitud de onda (c=υλ) obtenemos: λ=hc/eV Es decir, obtenemos una longitud de onda de corte para cada diferencia de potencial. Aquí vemos que algo que no podía explicar la física clásica, se puede explicar utilizando la cuantización de la energía, o lo que es lo mismo, la física cuántica.

En la última fórmula vemos que aparece la constante de Planck.

Ahora vamos a por la última parte del título de la entrada: la constante de Planck. La velocidad de la luz y la carga del electrón tiene unos valores que son muy conocidos y constantes (c=300000 km/s y e=1,602×10^-19C). Cuando usamos un tubo de rayos catódicos para generar rayos X, utilizamos una diferencia de potencial que es fija. Si para esa diferencia de potencial dibujamos el espectro continuo de los rayos X que se generan, podemos observar cuál es la longitud de onda de corte, por lo que una vez conocido este valor, podemos meter todos los valores en la ecuación y determinar el valor de la constante de Planck:

h=6,626×10^-34Js

El valor de h calculado con este método es muy preciso debido a la precisión con que se pueden conocer el resto de los parámetros de la ecuación.

¿A que las matemáticas de esta entrada no han sido tan dolorosas?

Referencias:

Marie Curie y su tiempo. José Manuel Sanchez Ron

Anna Bertha Roentgen (1832-1919): La mujer detrás del hombre. Daniela García P., Cristián García P. Revista Chilena de Radiología Vol II Nº4, año 2005; 1979-1981

Física Cuántica. Carlos Sanchez del Río (Coordinador) http://es.wikipedia.org/wiki/Catástrofe_ultravioleta

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