Un clásico: E = mc2. ¿Es todo? Su historia.

¿Por qué cuando alguien ve una ecuación escrita, lo primero que piensa es en salir corriendo? ¿Y por qué cuando alguien ve una camiseta con la foto de un señor de pelo blanco despeinado, sacando la lengua y con una ecuación de bajo, lo primero que piensa es, ¡mola!, yo también quiero una de esas? El señor en cuestión es el mismísimo Albert Einstein y la ecuación es E = mc2, que es probablemente la ecuación más famosa de toda la historia, incluso más que el teorema de Pitágoras (hipotenusa)2 = (cateto1)2 + (cateto)2 con la cual, por cierto, guarda una relación de la que hablaré más abajo. El problema es que muchos de los que tienen la camiseta o quieren una no saben exactamente cuál es el significado de la misma y mucho menos cuál es su origen. Lo que si sabemos prácticamente todos es que en la ecuación E es la energía, m la masa y c la velocidad de la luz.

Otra cosa que muy poca gente sabe es de dónde viene la famosa ecuación y qué es lo que Einstein quería explicar cuando la dedujo, así que vamos a hacer un poco de historia sobre como Einstein llegó a esta ecuación sin utilizar fórmulas (esto es complicado, así que si tenéis curiosidad os recomiendo leer el artículo original incluso si no entendéis nada es tan bonito y simple que merece la pena).

El artículo original en el que Einstein planteó el problema llevaba como título original,”Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?”[1], lo que significa ¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido de energía? El objetivo de Einstein en su artículo era explicar un aspecto que se derivaba de estudios previos sobre electrodinámica en las que utilizaba las ecuaciones de Maxwell, que explican porque vemos lo que vemos y que son, para mí, unas  de las ecuaciones más bonitas de la historia.

También utilizaba el principio de relatividad que es como sigue:

“Las leyes de acuerdo a las cuales cambian los estados de los sistemas físicos no dependen de si estos cambios de estado se refieren a uno u otro de dos sistemas de coordenadas que se encuentran en movimiento relativo de traslación paralela y uniforme”

Como podéis ver en realidad no dice nada de que todo es relativo y a lo que muchos se agarran cuando quieren hacer valer su posición con respecto a otra diferente.

A partir de aquí Einstein se preguntó qué pasa cuando un cuerpo en reposo con una energía E1 con respecto a un sistema de coordenadas, llamémosle C, y E2 con respecto a otro sistema de coordenadas C que se mueve con velocidad uniforme y paralelo a C emite energía en dos direcciones. Para entendernos supongamos que nosotros somos el cuerpo con la energía E1 que es la que hemos conseguido después de un buen desayuno y estamos parados en un andén en una estación de tren. La estación de tren es el sistema de coordenadas C. El sistema de coordenadas C sería un tren que se mueve en una vía paralela a la que estamos nosotros. Que el cuerpo de energía E1emita energía significa que nosotros emitimos energía de algún tipo. Por ser originales pongamos que tenemos unos ojos capaces de lanzar rayos X, entonces al lanzar los rayos X emitimos energía en dos direcciones (una por cada ojo). Si tenemos en cuenta la energía que hemos emitido y la medimos en el sistema de referencia que se mueve (el tren) y en el original, así como el principio de relatividad y la ley de conservación de energía (la energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma, o lo que es lo mismo, la energía inicial, que teníamos tras el desayuno ha de ser igual a la final siendo esta la que emitimos más la que nos queda del desayuno que no hemos usado), después de restar las energías en ambos sistemas de referencia nos queda el resultado al que llegó Einstein que viene a decir que si se emite energía en forma de radiación su masa disminuye (tengo que admitir que esto es más fácil de explicar con ecuaciones) es decir “la masa de un cuerpo es una medida de su contenido en energía”. La c2 viene de medir la energía del cuerpo en el sistema de referencia que se mueve.

En resumen la energía y la masa son equivalentes a través de una constante que es la velocidad de la luz, porque aunque los del experimento OPERA digan lo contrario, espera…  que ya no lo dicen porque se les olvidó apretar un cable, nada puede ir más rápido que la velocidad de la luz (en el vacío) que es constante con un valor de 300.000 km/s aproximadamente, o lo que es lo mismo E = mc2.

Aunque parezca un resultado inútil, no lo es en absoluto la masa se convierte en energía continuamente y la energía en masa. Lo primero es más fácil de ver, en el interior del Sol se están produciendo continuamente reacciones nucleares en la que dos átomos de Hidrógeno (esto es más bastante complicado pero para que se pueda entender es suficiente) se fusionan o “chocan” para dar lugar a un átomo de Helio más una cantidad de energía que se escapa de la reacción y que llega hasta nosotros para darnos calor y broncearnos. También es algo parecido a lo que pasa cuando estamos rellenitos y nos da por correr y hacer ejercicio, ¿la masa desaparece no? ¿y a dónde se va? ¡Se va en la energía necesaria para poder correr y hacer ejercicio!

Que la energía se convierte en masa es más complicado de ver, pero es, por ejemplo, el principio fundamental en el que se basan los aceleradores de partículas. Cuando en el LHC (Large Hadron Collider o Gran Colisionador de Hadrones en Español) del CERN chocan 2 protones que viajan a casi la velocidad de la luz, los protones (en realidad los quarks y gluones que hay en su interior) se convierten en energía por un breve instante de tiempo. Hasta aquí conversión de masa en energía de nuevo. Si simplemente ocurriera eso, gastarse tanto dinero en un acelerador no tendría sentido, pero lo importante es lo que ocurre a continuación, ¡esa energía se convierte en masa otra vez! Sin embargo no son protones lo que se crea a partir de la energía, sino otro tipo de partículas del inmenso zoo de partículas que se han descubierto y de las que se espera descubrir. Así, por ejemplo, es como se ha descubierto el famoso bosón de Higgs.

Hasta aquí todo muy bonito, pero… ¿es E = mc2 todo lo que hay? La respuesta es un gran NO. Si os dais cuenta, en el ejemplo de los protones, he dicho que viajan a la velocidad de la luz, pero además los protones tienen masa por sí mismos, conocida como masa en reposo. Esa masa que tienen es la que aparece en la ecuación de Einstein. ¿Y entonces donde está la velocidad que llevan los protones? La ecuación de Einstein no dice nada sobre los cuerpos que además de tener masa, se mueven, además tampoco dice nada sobre los cuerpos sin masa, como son los fotones (la luz), ya que si la masa es nula entonces la energía sería cero, lo cual no es posible porque, por ejemplo los fotones (la luz en el rango de frecuencia de los infrarrojos, que también son fotones) nos calientan, es decir, nos transmiten energía. Esto se soluciona incluyendo el momento de la partícula en la ecuación. El momento es, a grandes rasgos, una medida de la velocidad. En el caso de los fotones, estos no tienen masa pero si momento, es decir, se están moviendo. Si introducimos el momento en la ecuación de Einstein, tenemos la forma extendida de la ecuación de Einstein que es como sigue:

E2 = (mc2)2 + (pc)2

Donde p es el momento mencionado anteriormente. Ahora sí tenemos una expresión completa para la energía ya que si la partícula no tiene masa sí que puede tener energía (E = pc) y si no tiene momento (velocidad), es decir está en reposo, también tiene una energía dada por la famosa ecuación de Einstein. El hecho de que la E esté elevada al cuadrado quiere decir que hay que tomar la raíz cuadrada para encontrar la solución. Pero… un momento, las matemáticas nos dicen que cuando tomamos la raíz cuadrada siempre tenemos dos soluciones una positiva y una negativa. Por ejemplo  tiene dos soluciones 2 y -2, esto es así porque 22 = 4 y (-2)2 = 4 ¡también! ¿Quiere decir esto que podemos tener energías negativas? La respuesta es más compleja que esto. Se le atribuye a Paul Dirac en 1931 [3] el interpretar las energías negativas como las antipartículas. De este modo todas las partículas (cargadas) tienen asociada una antipartícula, el protón tiene su antiprotón, el electrón su antielectrón o positrón, etc.

Volviendo a la forma extendida de la ecuación de Einstein, si nos fijamos en la forma que tiene es muy parecida al teorema de Pitágoras como mencioné antes. ¿Cómo interpretamos esto desde un punto de vista físico? Vamos a dibujar cada elemento como parte de un triángulo rectángulo para representarlo como en el teorema de Pitágoras [3].

Ecuación extendida de Einstein como la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo

Ecuación extendida de Einstein como la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo

Esto nos quiere decir que si una partícula tiene masa, sólo podremos darle energía hasta un cierto punto, nunca podremos darle una energía infinita. La razón se puede ver en la figura de arriba. Si aumentamos la energía entonces la hipotenusa E será mucho más larga. Al aumentar la energía lo que hacemos es que la partícula tenga más momento (más velocidad para entendernos) y por lo tanto el cateto pc también se haría mucho más largo y para mantener la forma del triángulo rectángulo, según el teorema de Pitágoras, el cateto mc2 tendría que hacerse más grande, es decir, la masa aumentaría, por lo tanto si seguimos aplicando energía la masa aumenta continuamente, con lo que cada vez sería necesaria más energía para conseguir que se moviera, lo cual ni es efectivo, ni rentable, ¡ni útil! El límite de velocidad lo pone la velocidad de la luz, por lo que si aumentamos la energía hasta que la velocidad de la partícula sea comparable a la de la luz, ¡cada vez necesitaremos más energía para que se mueva!

Esto último es bastante difícil de visualizar con la parrafada que he soltado, por eso os dejo con un video de MinutePhysics donde lo explica fantásticamente bien en poco más de dos minutos.

http://www.youtube.com/watch?v=NnMIhxWRGNw

Referencias

[1] Einstein, A. Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?, Annalen der Physik. 18:639, 1905 (versión en inglés: Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy-Content)

[2]http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/06/24/paul-a-m-dirac-y-el-descubrimiento-del-positron/

[3] http://www.youtube.com/watch?v=NnMIhxWRGNw

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